Геометрический градиент на ногтях: фото пошагово + видео

Техника декоративного покрытия ногтей лаком с плавным переходом цвета или так называемый градиент, уже давно пользуется у поклонниц нейл-дизайна заслуженной популярностью. Мастера постоянно придумывают новое и интересное, совмещая несколько приемов в одном маникюре. Геометрический градиент – это один из вариантов ногтевой индустрии, креативному дизайну которого все большее число модниц отдают свое предпочтение. При таком способе композиция на ногте создается при цветовом переходе одного геометрического элемента к другому. Не размытость, а четкость линий отличает этот градиент от классического омбре.

Содержание:

Варианты и приемы

Тренд этого года хорош тем, что выполняется просто, а идей для выполнения имеет множество. Существует несколько разновидностей геометрического маникюра, когда все ногти расписываются геометрическими фигурами на градиенте или только один-два. Для украшения используются различные фигуры и линии, которые делят ноготь на равные или ассиметричные сегменты, зигзаги. Цветовые вариации выполнения геометрического дизайна, могут быть как классическими, так и достаточно яркими, контрастными. Для создания рисунка мастера используют ленты, виниловые или бумажные трафареты для ногтей или рисуют фигуры и линии кисточкой. Кроме этого, модный маникюр дополняют акриловой пудрой или бархатным песком. Способы нанесения градиента разнообразны и, какой использовать – зависит от мастера.

Кому подойдет геометрия маникюре

Геометрический дизайн нейл-дизайна подойдет для повседневного стиля, как молодым девушкам, так и женщинам с творческим началом, любящим все новое и креативное, не боящимся экспериментов. Такой рисунок оптически удлиняет ногти и помогает скрыть некоторые недостатки. Прекрасно сочетается с различными стилями в одежде.

Варианты геометрического градиента

Перед нанесением декоративного покрытия ногти нужно обработать. Они должны иметь одинаковую длину и красивую форму.

Градиент из ромбиков

Чтобы рисунок на ногте был четким и красивым, необходимо выполнить эскиз на бумаге.

Шаг 1 Наносим на ногти базовую основу, сушим.

Шаг 2 Красим ноготь белым лаком, сушим. Выкладываем на палитру два цвета — белый и любой цветной, в нашем примере темный лиловый цвет. И каждый раз, перед нанесением нового слоя градиента, добавляем в белый цвет немного лилового цвета. Так мы будем получать каждый раз оттенок темнее предыдущего. Получается очень гармоничный градиент.

Шаг 3 Итак, добавляем пару капель лилового цвета в белый и хорошо перемешиваем. Получившимся светлым цветом рисуем тонкой кисточкой для узора контуры треугольников (фото 2). Теперь этим же цветом закрашиваем нарисованные треугольники. Сушим.

Шаг 4 Опять подмешиваем лиловый цвет к нашему первоначально белому лаку (теперь уже светло-лиловому). Рисуем треугольники в шахматном порядке, заполняя их лаком (фото 3).

Шаг 5 Повторяем эти действия до конца пластины ногтя, подмешивая каждый раз больше лилового цвета в белый. Таким образом получиться плавный цветовой переход, у кутикулы рисунок будет самым светлым, а у конца ногтя темным. Треугольники на конце ногтя рисуем чистым темным лиловым цветом. Каждый слой сушим.

Шаг 6 Завершаем маникюр нанесением матового топа.

Видео:

Геометрический градиент из центра

Шаг 1 Наносим на ногти светлый цвет.

Шаг 2 Теперь начинаем рисовать градиент с самого темного цвета. Тонкой кистью делаем ромбовидное обрамление ногтя.

Шаг 3 Более светлый цветом лака рисуем по контуру ромб, не закрашивая середину.

Шаг 4 Еще более светлый цветом рисуем ромб, в центре оставив не закрашенный светлый ромбик.

Шаг 5 Покрываем прозрачным топом. Маникюр готов!

Видео:

Трафаретные узоры

Геометрический рисунок в рассматриваемом варианте наносится через специальные трафареты для ногтей. Они бывают с разными рисунками. Такие трафареты можно заменить клейкими лентами. Его можно выполнять как и с обычными лаками, так и с гель-лаками. Рассмотрим вариант с обычным лаком.

Шаг 1 На подготовленные ногти наносим розовый лак и сушим.

Шаг 2 Можно сделать узор на всех ногтях, либо на одном или двух. Приклеиваем на ногти трафарет с треугольниками. Излишки трафарета обрезаем ножницами, чтобы не мешали.

Шаг 3 С помощью губки делаем переход двумя цветами. Рядом на палитру кладем по капле розового лака и белого, смешиваем их в середине. Промакиваем спонжем и переносим градиент на ногти. Более подробно смотрите здесь. Сушим ногти.

Шаг 4 Трафарет аккуратно убираем. Все ногти покрываем слоем прозрачного топа.

Геометрический принт – это всегда простор для творчества и эксклюзив, двух одинаковых рисунков не получится, именно это и нравится многим модницам.

Геометрический градиент: фото идей

Вы уже пробовали выполнять геометрический градиент на ногтях? Делитесь в комментариях!

Градиент функции и его геометрический смысл — ПриМат

Прежде чем приступать к прочтению данной статьи, я советую ознакомится с темой Производная по направлению

Градиент можно обозначать через $\mathrm{grad}\,\varphi$, но мы будем обозначать через $\nabla\varphi$ .
$$\nabla\varphi= \left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y} ,\frac{\partial \varphi }{\partial z}\right )$$

Предположим, что i, j и k— координатные орты , то  $$\nabla\varphi= i\frac{\partial \varphi }{\partial x}+j\frac{\partial \varphi }{\partial y} +k\frac{\partial \varphi }{\partial z}$$ Предположим, что вектор и является единичным вектором. Теперь мы можем записать формулу для производной функции по направлению вектора с помощью градиента : $$\frac{\partial \varphi }{\partial l} = \cos\alpha \frac{\partial \varphi }{\partial x} + \cos\beta \frac{\partial \varphi }{\partial y} + \cos\gamma\frac{\partial \varphi }{\partial x} = (l,\nabla\varphi)$$ и как мы говорили ранее, что в -единственный вектор, следовательно мы имеем$$\frac{\partial \varphi }{\partial l}=\left | \nabla\varphi \right |\cos\delta $$ ($\delta$ — угол образованный вектором и не трудно увидеть из этой формулы, что если в данной точке $$\left |\nabla\varphi \right |^{2}=\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial y} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial z} \right )^{2}\neq 0.$$

 В трех мерном пространстве градиент имеет хорошую геометрическую интерпретацию, градиент это вектор в котором производная достигает максимума ,только тогда, когда $\cos\varphi=1$. Теперь понятно, что градиент не зависит от выбора системы координат и определяется самой функцией. Мы можем смело сказать , что если градиент равен нулю в одной декартовой системе координат, то он равен нулю в каждой подобной системе координат. А если градиент не равен нулю то его независимость от выбора декартовой системы координат следует из его геометрического смысла .

Использованная литература:

• Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2014-2015 гг., 1-ый курс, семестр 2
• Тер-Крикоров А.М., Шубин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов, 3-е издание, исправленное, 2001 г., стр 253-254
• Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1, стр. 39

Тесты

Градиент функции и его геометрический смысл

Лимит времени: 0

Информация

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

Таблица лучших: Градиент функции и его геометрический смысл

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Поделиться ссылкой:

Похожее

фото дизайна, техника выполнения, уроки для начинающих

Градиент на ногтях — универсальный нейл-дизайн, сочетающий в себе стиль, оригинальность, а также простоту и строгость. Стиль омбре, он же градиент, стал популярен относительно недавно. Сочетание двух цветов и плавное перетекание одного в другой создает красивый дизайн, который отлично смотрится и на длинных, и на коротких ногтях.

Как сделать градиент на ногтях в домашних условиях? Какие инструменты для этого понадобятся и какова последовательность действий?

Чем примечателен дизайн градиент?

Техника выполнения градиента на ногтях основана на использовании нескольких оттенков одного цвета, плавно переходящих один в другой. Можно использовать усложненный принцип — плавное перетекание одного цвета в другой.

Такой дизайн хорошо смотрится самостоятельно, а также в сочетании с росписью, трафаретом, блестками и пр.

Правильно подобранные цвета и оттенки позволят визуально удлинить короткие и широкие ногти.

Итак, исходя из перечисленного, можно определить несколько особенностей градиента на ногтях:

• визуальное удлинение ногтей;
• натуральные ногти перед выполнением техники необходимо подготовить;
• идеальным вариантом градиента является использование цветового круга;
• для красивого результата необходимо подбирать такие цвета, которые способны плавно перетекать один из другого;
• для градиента лучше выбирать более «плотные» цвета, не требующие повторного нанесения на ноготь (красятся в один слой), такой выбор удобен для самостоятельного выполнения дизайна;
• если конечный результат разочаровал в сочетании цветов, то можно воспользоваться маленькой хитростью: на линию перехода оттенков нанести похожего цвета блестки, или же роспись, небольшой слайдер, то есть использовать неудачное омбре в качестве фона.

Разновидности

Существует несколько методик того, как сделать градиент на ногтях. Но также существует несколько разновидностей и самого дизайна, каждый из которых требует определенной техники выполнения.

Итак, видов омбре несколько:

1. Горизонтальный или классический градиент, который выглядит как переход цветов от основания ногтя к его краю.
2. Вертикальный градиент — перетекание цветов слева направо.
3. Омбре от большого пальца до мизинца. То есть темный тон выбранного цвета наносится на большой палец, и далее на каждый палец наносится лак на тон-два светлее исходного. Такая разновидность дизайна подходит для коротких ногтей.
4. Френч-градиент — переход от розового цвета к белому.

Какая бы техника ни была выбрана, любую из них можно с легкостью выполнить в домашних условиях.

Можно ли сделать дизайн самостоятельно?

Сделать градиент на ногтях для начинающего мастера не составит никакого труда, каким бы сложным он ни казался. Исполнить его самостоятельно можно несколькими способами:

• посредством спонжа;
• с помощью гель-лака;
• использовать специальную градиент-кисточку.

Аналогом спонжа может стать кусочек обычной губки для мытья посуды. Использовать можно как обычные лаки для ногтей, так и гель-лаки. Но, выбрав последний вариант, потребуется докупить дополнительные приспособления.

Что касается выбора количества цветов, то их должно быть от 2 до 4. Использовать меньше цветов не имеет смысла, а если больше — это придаст излишнюю аляповатость и усложнит работу.

Как сделать градиент на ногтях спонжем?

При помощи спонжа получится быстро создать омбре на ногтях. Использовать можно даже не профессиональный гель-лак. Потребуется несколько дополнительных материалов:

• спонж или губка заостренной (прямоугольной или квадратной) формы с мелкими дырочками или вообще без них;
• лаки двух или нескольких оттенков;
• база и закрепитель;
• емкость с водой;
• ватные палочки;
• зубочистки;
• фольга;
• небольшая щеточка с мягкой щетинкой;
• жидкость для снятия лака.

Как сделать градиент на ногтях при помощи спонжа?

1. Сначала ногти обезжиривают при помощи жидкости для снятия лака. Для более качественного результата стоит дважды воспользоваться этим средством.
2. После на поверхность каждой ногтевой пластины наносят базу.
3. Когда она подсохнет, из фольги вырезают небольшой кусочек и на него наносят по две капельки каждого лака так, чтобы они не смешались, а лишь немного соприкасались.
4. В месте соприкосновения лаков их аккуратно соединяют так, чтобы получился плавный переход из одного оттенка в другой.
5. После берут спонж и макают его в лаки на фольге. Получится спонж-трафарет. Наносят его на ноготь, слегка прижимая и перекатывая от основания к краю.
6. Те же действия проводят до тех пор, пока омбре не получится на всех ногтях.
7. Дают дизайну на ногтях высохнуть, а после наносят закрепитель.
8. При помощи зубочисток, ватных палочек и жидкости для снятия лака вытирают излишки и остатки с пальцев.

Для скорейшего высыхания лака неплохо будет воспользоваться специальной УФ-лампой. Урок градиента на ногтях при помощи спонжа на этом этапе завершается.

Дизайн кистью

Дизайн градиент на ногтях кистью делается так же просто, как и спонжем, но, разумеется, техника выполнения будет другой. При помощи кисти можно наносить узор и вертикально, и горизонтально. Дополнительные инструменты понадобятся те же, что и для техники нанесения спонжем.

Способ нанесения градиента кистью (вертикально) состоит из нескольких этапов:

1. Ногти обезжиривают, полируют и покрывают базовым средством.
2. Выбирают сочетаемые оттенки лаков.
3. Чтобы в конце процедуры остатки лака было проще удалить с пальцев, область вокруг ногтей смазывают небольшим количеством детского или другого жирного крема.
4. Далее лаком самого светлого из выбранных оттенков красят все ногти полностью. Ждут высыхания. После другим оттенком покрывают только половину ногтя: от середины до края. Пока лаки не полностью высохли, на их границе при помощи спонжа создают плавный переход. Все необходимо делать быстро.
5. Высушивают лаки на ногтях посредством лампы или естественным путем. В конце наносят закрепитель.

По предложенной схеме можно создать омбре из 3-4 лаков, правда, для этого потребуется большая аккуратность и точность.

Горизонтальный градиент кистью на ногтях делается аналогичным способом, только растяжка цвета идет слева-направо, а не сверху вниз.

Горизонтальное омбре на каждом ногте также делают посредством кисточки. Только схема его создания намного проще. Каждую ногтевую пластину окрашивают на оттенок темнее или светлее цвета предыдущего ногтя.

Использование веерной кисти для омбре на ногтях

Веерная кисть — удобный инструмент для создания маникюрного омбре. По форме она тонкая, но широкая, похожая на веер. При ее использовании получается более резкий переход от одного цвета к другому.

При помощи такой кисти можно сделать градиент на ногтях гель-лаком или обычным лаком. А техника выполнения дизайна веерной кистью не вызовет сложностей:

1. Сначала ногти обезжиривают, полируют и наносят на них базовое средство.
2. После все ногти красят лаком, цвет которого выбран основным, например, белый. Градиент на ногтях получится более отчетливым.
3. На кусочке фольги рядом друг с другом наносят два лака разных оттенков (один из которых основной) и аккуратно посредством иголки смешивают их вместе, создавая плавный переход. Окунают в полученный оттенок веерную кисть и наносят ее на ногтевую пластину до середины.
4. На вторую половину ногтевой пластины наносят третий цвет и при помощи веерной кисти закрашивают им оставшийся участок ногтя.
5. Просушивают готовый дизайн.
6. Для оставшихся пальцев повторяют шаги 1, 2, 4 и 5.

Многие называют такое омбре «агрессивным», поскольку, как было сказано раньше, оно имеет более резкий переход.

Геометрический градиент

Геометрический градиент — один из самых популярных дизайнов в этом году. Он объединяет в себе и омбре, и узор. Поэтому можно сказать, что дизайн универсален.

Особенностью такого оформления является использование геометрических фигур и линий, которые складываются в градиент. Каждый цветовой переход состоит из фигурных сегментов или зигзагов, полос и пр. Рисовать такие узоры можно вручную кистью, трафаретами, лентами. Конечный результат будет зависеть от мастерства мастера.

Рассмотрим один из примеров создания геометрического омбре, а именно цветовой переход ромбиками.

1. Первым делом формируют длину, форму ногтей, полируют их и обезжиривают.
2. Красят ногтевые пластины базовым лаком, который задаст фон. В основном используют цвет белый. Градиент на ногтях в таком случае будет более явным.
3. Далее берут палитру, на которой будут смешивать белый лак с лаком другого цвета, например, красным. Причем с каждым разом количество красного цвета нужно будет при смешивании добавлять.
4. Далее рисуют ромбики. Смешивают лаки (2:1) и, немного отступив от основания ногтя, рисуют «заборчик» полученным цветом. Из этого «заборчика» делают ромбики.
5. После приступают к прорисовыванию второго слоя ромбиков. Смешивают белый и красный лаки, так чтобы новый оттенок получился несколько темнее предыдущего. Для этого уменьшают количество белого лака и добавляют красного. Новым цветом рисуют новый слой ромбиков.
6. Последний слой должен быть насыщенного красного цвета.
7. Ногти просушивают и покрывают глянцевым или матовым топом.

Акриловая пудра

Акриловая пудра создаст интересный эффект простому градиенту. К тому же использовать ее можно и в условиях домашнего маникюра.

Этапы создания омбре с использованием пудры таковы:

1. После предварительной подготовки ногтей на них наносят выбранный цвет лака.
2. После его высыхания наносят топ, но просушивать его не надо.
3. Сразу после нанесения топа набирают кисточкой акриловую пудру и распределяют ее по основанию каждой ногтевой пластины, плавно двигаясь к середине.
4. При приближении к центру ногтя кисточку с пудрой немного приподнимают, чтобы уменьшить интенсивность акриловой пудры.
5. Такую же технику проводят со вторым цветом, распределяя акриловую пудру уже от середины к внешнему краю ногтя.
6. Получившийся дизайн просушивают. Остатки пудры стряхивают.

Френч в технике омбре

Классический френч-градиент — это переход от белого цвета на внешнем крае ногтя к другому цвету, распределенному на основании ногтя. В последнее время модно стало использовать и другие цвета.

Такой градиент на ногтях для начинающих мастеров будет выполнить сложно.

Чтобы в домашних условиях сделать френч-омбре, потребуется соблюдение следующей техники:

1. На подготовленные ногти наносят лак-основу розового или бежевого цвета.
2. На середину ногтя наносят лак на оттенок светлее основного цвета и плавно растушевывают его при помощи спонжа, чтобы добиться перехода от одного цвета к другому.
3. На внешний край ногтя наносят белый лак при помощи губки или спонжа.
4. Просушивают готовый дизайн, а сверху его покрывают топом.

Дизайн гель-лаком

Для создания омбре при помощи гель-лака потребуется запастись дополнительными материалами:

• дегидратор;
• праймер;
• 2 оттенка гель-лака;
• топ;
• УФ-лампа;
• тонкая кисть для дизайна.

Техника исполнения градиента на ногтях гель-лаком заключается в нескольких этапах:

1. Дегидратором снимают жировой слой с ногтей.
2. Наносят праймер.
3. После на каждый ноготь наносят базу и просушивают в лампе.
4. Далее самый светлый из выбранных гель-лаков наносят на ногтевые пластины от основания до середины.
5. Другим цветом красят ногти от края пластины до середины, так чтобы между двумя оттенками не оставалось зазоров.
6. Пока лаки не высохли на ногтях, их при помощи тонкой кисточки смешивают, создавая плавный переход.
7. Сушат ногти, наносят топ, снимают липкий слой.

Омбре на ногтях с блестками

Интересный вариант градиента получается с использованием блесток. Техника выполнения под силу даже начинающему мастеру. Для этого необходимо выбрать основной цвет и на тон темнее или такого же цвета блестки.

Красят ногти выбранным цветом, сушат. После обмакнув кисть в блестки, проводят ею от основания до края пластины. Причем у основания блесток должно быть немного, а на краях их слой должен быть плотным.

Заключение

Градиент на ногтях — отличное решение и для вечернего, и для повседневного маникюра. Выбрав нужные оттенки можно добиться и классического, и романтичного, и рокового стиля. Причем смотрится градиент на ногтях коротких и длинных безупречно.

Градиент — это… Что такое Градиент?

Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и тем длиннее, чем круче наклон.

Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным.

Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.

Стандартные обозначения:

или, с использованием оператора набла,

— вместо может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например  — обозначения градиента поля V.

Определение

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами

, , .

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если  — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

• Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.
• Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или ) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения при смещении на . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку  — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Пример

Например, градиент функции будет представлять собой:

В физике

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, напряженность электростатического поля есть минус градиент электрического потенциала, напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.

В естественных науках

Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далеких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.

Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

Геометрический смысл

Рассмотрим семейство линий уровня функции :

Нетрудно показать, что градиент функции в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

Связь с производной по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции по направлению равняется скалярному произведению градиента на единичный вектор :

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах

где  — коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости)

Коэффициенты Ламе:

Отсюда:

Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе:

Отсюда:

Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

.

Отсюда:

См. также

Литература

1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30

Градиент | Наука | Fandom

Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и тем длиннее, чем круче наклон.

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины $ \varphi $, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве $ \varphi $ высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста $ \varphi $ в этом направлении.

Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введен Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.

Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами $ \frac {\partial \varphi} {\partial x} $, $ \frac {\partial \varphi} {\partial y} $, $ \frac {\partial \varphi} {\partial z} $, где $ \varphi $ — некоторая скалярная функция координат $ x $, $ y $, $ z $.

Если $ \varphi $ — функция $ n $ переменных $ x_1,\;\ldots,\;x_n $, то её градиентом называется $ n $-мерный вектор

$ \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\;\ldots,\;\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right), $

компоненты которого равны частным производным $ \varphi $ по всем её аргументам.

Градиент обозначается $ \mathrm{grad}\,\varphi $ или, с использованием оператора набла, $ \nabla \varphi $.

Из определения градиента следует, что:

$ \mathrm{grad}\,\varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z. $

Смысл градиента любой скалярной функции $ f $ в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения $ d\mathbf{x} $ дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена $ f $, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения $ f $ при смещении на $ d\mathbf{x} $. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

$ df = \frac {\partial f} {\partial x_1}\,dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2}\,dx_2 + \frac {\partial f} {\partial x_3}\,dx_3 + \ldots = \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i}\,dx_i = (\mathrm{grad}\,\mathbf{f} \cdot d\mathbf x). $

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат $ x_i $, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку $ d\mathbf{x} $ — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

$ d f = \sum_i (\partial_i f)\,dx^i $

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

$ df=(\partial_i f)\,dx^i $

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Например, градиент функции $ \varphi(x,\;y,\;z)=2x+3y^2-\sin z $ будет представлять собой:

$ \nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\;\frac{\partial \varphi}{\partial y},\;\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z) $

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

Геометрический смысл Править

Рассмотрим семейство линий уровня функции $ \varphi $:

$ \gamma(h)=\{(x_1,\;\ldots,\;x_n)\mid \varphi(x_1,\;\ldots,\;x_n)=h\}. $

Нетрудно показать, что градиент функции $ \varphi $ в точке $ \vec{x}{\,}^0 $ перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности $ \vec{x}{\,}^0 $, то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

Связь с производной по направлению Править

Используя